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Archives de Tag: Revue Tangente

Les graphes – Représenter les données et les stratégies


Bibliographie sciences

 

Quelques points reliés par des traits suffisent à créer un graphe. Il faut pourtant attendre le XVIIIe siècle pour voir émerger une théorie pertinente. Depuis, des résultats structuraux puissants ont été mis en évidence, dont les derniers en date sont le théorème des graphes parfaits et le théorème des mineurs.

De par leur structure purement topologique, les graphes sont un outil incomparable d’aide à la décision: ordonnancer les tâches dans une chaîne de production, trier des données numériques, gérer un réseau de voies ferrées, sont quelques-unes de leurs applications.

Quant aux amateurs de jeux de réflexion, ils peuvent y trouver une source d’inspiration permanente: les stratégies se résument toutes à des chemins dans un graphe !

Les graphes – Représenter les données et les stratégies, Texte en ligne.

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Les angles sous tous les angles – Deux mille ans de géométrie


Bibliographie sciences

 

L’angle est une des premières notions de géométrie que l’on rencontre. Pourtant, tout au long de la scolarité, on ne le définit jamais vraiment. On se contente le plus souvent de montrer le secteur formé par deux droites.
Si cet objet géométrique très intuitif se laisse apparemment appréhender au premier coup d’œil, il n’est pas simple de répondre aux questions : « Qui est-il, à quoi sert-il ? »

Ce n’est pas un hasard s’il a fallu des siècles pour montrer que la trisection de l’angle n’est pas réalisable à la règle et au compas, ou pour maîtriser la perspective. Quant à la définition donnée par les « maths modernes » dans les années 1970, elle a laissé pantois plus d’un élève (et d’un enseignant).

Alors pour répondre enfin à ces questions profondes, Tangente a mobilisé sa rédaction : vulgarisateurs, enseignants, chercheurs, géomètres, historiens vont éclairer le lecteur sur ce concept qui semble aller de soi.

Les angles sous tous les angles – Deux mille ans de géométrie, Texte en ligne.

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Mathématiques et informatique – Une nouvelle ère numérique


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L’informatique est avant tout un système de représentation de l’information. Les bouleversements induits par son développement foudroyant sont tels que de nouveaux domaines de la connaissance ont vu le jour. L’algèbre booléenne et l’algorithmique sont les outils qui permettent de numériser (« mettre sous forme de nombres »), représenter et manipuler l’information. La logique formelle comme la sémantique cherchent à préciser ce qui peut être formalisé et expliqué à un ordinateur. La théorie du signal permet de faire circuler des données d’un ordinateur à l’autre. La cryptologie vise à étudier la sécurité des données qui transitent. Les codes correcteurs d’erreurs ont pour mission de détecter et de corriger toute erreur sur les données. Les ondelettes autorisent la compression des sons et des images (avec les fameux formats MP3, MP4, JPG ou DIVX). Les graphes permettent d’étudier la distribution et la connectivité d’un réseau d’ordinateurs. L’analyse de données permet de gérer le déluge d’informations qui submergent les serveurs. Sans les mathématiques, aucun de ces progrès ne serait possible !

Mathématiques et informatique – Une nouvelle ère numérique, Texte en ligne.

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Le calcul intégral – Des nombres, en somme…


Bibliographie sciences

 

Sous le nom d’intégrale se cache une idée simple, belle et puissante, qui a mis plusieurs siècles pour arriver à maturité. Comment calculer l’aire d’une zone délimitée par une courbe ?

Le génial Archimède découpe la surface à mesurer en objets géométriques élémentaires, puis procède par encadrements successifs.
C’est le point de départ d’une théorie qui se précisera au fil des siècles. Newton et Leibniz s’emparent de la question et leur petite guerre débouchera sur la fondation du calcul intégral. Grâce à eux, l’analyse se met au service de la géométrie. La machine est lancée et ne s’arrêtera plus. Le XIXe siècle sera celui de l’utilisation du calcul intégral dans toutes les branches de la physique et des progrès de la théorie, notamment avec Riemann. Elle débouche aujourd’hui sur des extensions permanentes.

C’est cette histoire, accompagnée d’explications théoriques détaillées, que raconte cet ouvrage.

Le calcul intégral – Des nombres, en somme…, Texte en ligne.

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Les maths de l’impossible – La quadrature du cercle !


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Les concepts scientifiques ne naissent pas tout prêts dans la tête de leurs auteurs : souvent, on leur rétorque « Mais c’est impossible ! « . Et pourtant, les inventeurs ont parfois raison contre la pensée dominante en science ou en vogue dans la société. Les mathématiques ne font pas exception, et ce numéro raconte les aventures scientifiques et humaines de ce domaine. Tout commence avec les problèmes déliaques : la « quadrature du cercle » est si célèbre que, dans le langage courant, elle désigne une impossibilité. Que d’outils utiles pour la géométrie ont été inventés, que de vocations scientifiques sont nées du désir de résoudre la trisection de l’angle, la duplication du cube ou le grand théorème de Fermat ! La vertu didactique de ces problèmes, dont certains ont mis près de deux mille ans à recevoir une solution, est souvent négligée. En fait, tout commence peut-être avec l’apparition du langage et des premiers paradoxes, ou avec les interrogations de l’homme sur l’infini. De tout temps, des esprits inspirés, créatifs, originaux, ont bousculé les idées reçues et ont pensé des objets qui ne « devraient pas exister », qui sont à la base des grandes découvertes, même en mathématiques.

Les maths de l’impossible – La quadrature du cercle !, Texte en ligne.

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Les invariants – Dénicher la loi cachée


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L’une des activités principales du scientifique explorant le monde est la recherche d’invariants. Les mathématiques n’échappent pas à cette quête systématique: il est toujours conseillé de s’intéresser à « ce qui ne change pas» dans un cadre fixé.

En géométrie, la recherche de points invariants permet de mieux comprendre les transformations. Le plus simple des invariants, la parité, est exploité dans de nombreux contextes, le jeu de taquin en étant une parfaite illustration.

D’autres invariants, de nature algébrique, interviennent dans l’étude des permutations d’objets abstraits, ou concrets comme le Rubik’s Cube. Ils sont à la base des codes correcteurs d’erreurs, indispensables pour sécuriser la transmission des données. Aujourd’hui plus que jamais, les invariants sont au coeur des mathématiques et de leurs applications.

La magie des invariants mathématiques – Dénicher la loi cachée, Texte en ligne.

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Théorie des jeux – Stratégies et tactiques


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Qu’ont en commun un problème de grains de riz sur un échiquier, la recherche d’une stratégie gagnante dans un jeu de société, la notion d’équilibre en économie, les comportements sociaux, l’art de la guerre et l’établissement d’un juste prix lors d’une vente aux enchères ? Tous relèvent d’une même branche des mathématiques : la théorie des jeux. Les jeux à information complète, tels que les échecs ou le go, utilisent les mathématiques discrètes et la logique. Ceux à information incomplète, comme le poker, mobilisent en outre des notions probabilistes pour tenter d’apprivoiser une part de hasard. Et aujourd’hui, l’outil informatique est venu « modifier la donne », en offrant des capacités de calcul qui permettent de rivaliser avec les plus grands champions ou de rassembler d’immenses communautés de joueurs.

Théorie des jeux – Stratégies et tactiques, Texte en ligne.

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Les matrices – Une représentation du monde


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Les matrices sont, à la base, de simples tableaux de nombres. Il y a moins de deux siècles, on a défini des opérations pour manipuler ces tableaux, ce qui a bouleversé l’approche de plusieurs objets ou notions mathématiques. Les transformations géométriques, notamment, s’étudient plus aisément avec les outils matriciels. Plus généralement, tout ce qui est de dimension finie dans le monde qui nous entoure, et tout ce qui peut être modélisé, tombe sous leur influence. Cette caractéristique a trouvé sa pleine expression avec l’avènement de l’informatique. L’économie, l’actuariat et la finance en sont friandes. L’électronique et toutes les sciences de l’ingénieur ne peuvent plus s’en passer. Même le grand public est directement concerné : derrière chaque Sudoku, chaque grille logique, chaque carré magique se cache une matrice, souvent utile dans sa résolution.

Les matrices – Une représentation du monde, Texte en ligne.

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Mathématiques et biologie – L’organisation du vivant


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Les mathématiques : outil fondamental des sciences du vivant ? C’est ce que suggèrent de nombreuses constatations : la présence dans la nature de structures mathématiques complexes (spirales, fractales, symétrie dans la nature…), les capacités cognitives des chimpanzés, les alvéoles des abeilles ou la géométrie complexe des toiles d’araignées…

Des modèles théoriques, validés par l’expérience, permettent d’appréhender de nombreux phénomènes biologiques complexes, tels les équilibres entre proies et prédateurs ou l’étude du comportement collectif des oiseaux et bancs de poissons.

Enfin, le séquençage des génomes et le fonctionnement du cerveau semblent eux aussi suggérer que les mathématiques, loin d’être le propre de l’homme, seraient en fait le propre du vivant.

Mathématiques et biologie – L’organisation du vivant, Texte en ligne.

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Les algorithmes – Au cœur du raisonnement


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En Grèce à l’époque d’Euclide, en Chine il y a 2000 ans ou aujourd’hui à l’ère de l’informatique, les algorithmes ont vocation à expliquer, étape par étape, comment fonctionne un raisonnement. Certaines caractéristiques émergent naturellement : boucles, conditions d’arrêt, itérations, convergence, récursivité… Les algorithmes ont officiellement fait leur entrée dans les programmes scolaires en 2009. Le présent ouvrage couvre leurs aspects historiques, techniques et mathématiques, mais également les besoins spécifiques des enseignants (et de leurs élèves). Pour autant, le grand public n’est pas oublié : de nombreuses questions fascinantes, en arithmétique par exemple, sont issues d’algorithmes très simples.

Les algorithmes – Au cœur du raisonnement, Texte en ligne.

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